Matemaatilised paradoksid

[KaruTEC]

Nii !

et A=1, B=1
A^2=B^2 because A=B, so
A^2=AB and
A^2-B^2=A^2-AB , next we factor
(A+B)(A-B)=A(A-B) , divide like terms
(A+B)=A
substituting our variables for their values we learn that
2=1.

Kus on kala ? Kas ma arvan õigesti, et A=B -> A2=B2 ei ole tegelikult korrektne kuna lahendite hulk ei ole sama ? (esimesel juhul sobib nt 1 ja 1, teisel juhul aga ka 1 ja -1).
Kas peaks kõiki muutujaid kohtlema kui kompleksarve ?
Andrei ja teised, nõuame korrektset selgitust. Kõhutunne jäägu kõrvale, ainult matemaatiline loogika palun !

Ja teine ka:

We try to solve this equation: x^2 - x + 1 = 0
We do that by adding x - 1 on both sides: x^2 = x - 1
We multiply both sides by x: x^3 = x^2 - x
Add 1 on both sides: x^3 + 1 = x^2 - x + 1
Recognize the first equation in the right side: x^3 + 1 = 0
Subtract 1 on both sides: x^3 = -1
Take the cube root on both sides: x = -1
Check the answer: (-1)^2 - -1 + 1 = 0

Kui asi lahendada ruutvõrrandina, siis reaalarvulist vastust ei tule, mõlemad vastused on kompleksarvud. Aga tuletuskäik, kus on siin viga ? Kas mõlema poole x ga läbi korrutamine muudab lahendite hulka ?

[andrei]

Esimesel juhul tasub tähele panna, et mõlemad pooled jagatakse läbi suurusega A-B, mis on null. Pärast nulliga läbi korrutamist on aga kõik avaldised võrdsed...

Teise ülesande võtmeks on võrrandi x^3+1=0 lahendite arv, mis on 3, aga ära on toodud ainult reaalarvuline lahend.

Loodetavasti võidad kihlveo, sel juhul pool saagist suurele kotkale

[KaruTEC]

Nojah, esimeses ülesandes on enamus tehteid tegelikult stiilis 0=0 ja sellest võib tuletada mida iganes. Liiga lihtne asi et kohe aru saada
Aga teisele ei saanud veel pihta. Kuskohast kaob side algse võrrandiga ja tekib kolmas lahend ?

[andrei]

Aga teisele ei saanud veel pihta. Kuskohast kaob side algse võrrandiga ja tekib kolmas lahend ?

Neid hetki on kaks:
1) x-iga läbikorrutamisel: lisandub võõrlahend x=0
2) Parema poole pealt esialgse võrrandi ärakaotamisel: võrrandi lahendite hulk muutub (jälle!): x=0 asemel on nüüd võõrlahendiks x=-1. Nimelt esialgne võrrand on null ainult lahendite koha peal; ja sinna tingimusteta nulli kirjutamisel muutub võrrandi iseloom kõikides teistes punktides.

[andrei]

Kas mõlema poole x ga läbi korrutamine muudab lahendite hulka ?

Selles oli Sul täiesti õigus. Tuleb juurde võõrlahend x=0.